|
Fermat（1601--1665）
1601年8月20日生於法國圖盧茲(Toulouse)附近的博蒙-德-洛馬涅(Beaumont-de-Lomagne)；1665年1月12日卒於法國卡斯特爾(Castres)。 數學。業餘學者的宗師
我發現了許多非常美妙的定理。 ---P.費馬(Fermat)--- 並非所有的鴨子都能成為天鵝；所以，在介紹了整個時代最主要的數學家之一笛卡兒(Descrates)之後，我們要證明一個經常提到而很少引起非議的說法，即17世紀最偉大的數學家是笛卡兒(Descrates)的同代人皮埃爾．費馬(Pierre
Fermat,1601?-1665)。當然，這沒有把牛頓(Newton，1642-1727)考慮在內。但是，可以說，作為一個純數學家，費馬至少與牛頓(Newton)不相上下，而且，牛頓(Newton)一生幾乎有三分之一在18世紀，費馬的一生卻是在17世紀度過的。 牛頓(Newton)似乎把他的數學主要看作科學探索的一個工具，致力於後者的研究，費馬儘管在把數學應用於科學特別是光學方面也作了卓有成效的工作，但是，他對純數學有著更強烈的興趣。隨著1637年笛卡兒(Descrates)解析幾何學的發表，數學才進入現代階段，並且在若干年內仍然處在相當一般的水平，以致一個有才華的人很有希望在純數學和應用數學兩方面作出出色的工作。微積分學的發明使牛頓(Newton)作為一個純數學家達到了他的頂峰。萊布尼茨(Leibniz)也曾獨立完成這項發明。關於這一點，後面還要作更多的介紹。現在要指出的是，費馬在牛頓(Newton)降生前13年，萊布尼茨(Leibniz)降生前17年就構想出並應用了微分學的主要思想；儘管他沒有像萊布尼茨(Leibniz)那樣，把他的方法歸納為一套比較淺近的規則，以致哪怕是一個笨蛋也可用它來解決一些簡單問題。 至於笛卡兒(Descrates)和費馬，他們都是完全獨立地發現了解析幾何學。他們就這個問題通過信，但是，這並不影響上述結論。笛卡兒(Descrates)主要致力於多方面的科學考察，詳盡的哲學闡述，以及他的太陽系"渦動理論"——長期以來甚至在英國也是牛頓(Newton的非形而上學的萬有引力學說的一個強有力的競爭者。費馬好像從來沒有像笛卡兒(Descrates)和帕斯卡(Pascal)那樣，被那些關於作為一個整體的上帝、人以及宇宙的富有魅力的哲學說教所誘惑；所以，費馬在微積分和解析幾何中發揮了他的作用，並且為了生計而始終過著勤勉而安謐的生活之外，仍然自由自在地把他剩餘的精力奉獻於他最喜愛的娛樂——純數學，以及完成他最偉大的工作數論基礎，對此，他有著無可爭辯的獨佔鰲頭、永垂青史的權利。 現在可以看到，費馬和帕斯卡(Pascal)一起分享了概率論的數學理論的創造。如果所有這些第一流的成果還不足以在純數學方面把他列在同代人之首的話，那麼我們可以問一下，還有誰作得更多？費馬是一個天生的發明者。就他所從事的科學和數學而論，嚴格說來，他也是一個業餘學者。毫無疑問，在科學史上，即使他不是真正第一名業餘學者，也是第一流的業餘學者之一。 費馬的生活安謐，勤奮而又平凡，倘卻從中贏得了為人的業績。他寧靜生涯的主要部分，不需很多筆墨。數學家皮埃爾．費馬是博蒙副領事、皮革商多米尼克．費馬(Dominique Fermat)和一個議會律師家庭的女兒克萊爾．德．隆(Claire de Long)的兒子，1601年8月(確切日期不得而知；洗禮日子是8月20日)生於法國博蒙德洛馬涅(Beaumont-de-Lomagne)。他在故鄉的家中受了早期教育；後來為成為地方行政官作準備，在圖盧茲(Toulouse)繼續他的學習。由於費馬穩健而平靜地度過了他的一生，避開了無益的爭論；並且由於他沒有像帕斯卡那樣，有吉爾貝特(Gilberte)這樣一個對他寵愛的姐姐為後世記錄他孩提時的天才，所以，他大學時代幸存下來的事蹟只有一星半點。他橫溢的才華，從他成年時期取得的成就中顯而易見。若沒有嚴格學問的堅實基礎，沒有一個人能夠像費馬那樣成為古典學者和作家。一般說來，他在數論和數學中奇蹟般的工作不能追溯到他所受的教育，因為他作出最傑出貢獻的領域，在他是一個大學生的時候，還是一塊處女地，只是受到他的研究的啟發，才被開墾了。 在他的傳記材料中記載約有價值的幾件事僅是，他30歲時在圖盧茲就任為特邀專員(1631年5月14日)；同一年6月1日他與母親的堂妹路易斯．德．隆(Louise
de Long)喜結良緣，她給他生了三個兒子，其中之一，克雷蒙-塞繆爾(Clement-Samuel)是父親科學事業的繼承人，還有兩個女兒，雙雙出家當了修女；1648年他被晉升為圖盧茲地方議會議員，他以尊貴、誠實和巨大才能在這個職位上幹了17年。他一絲不苟地為政府服務了整整34年；而最後，1665年
l 月12日，他65歲的時候，他在卡斯特爾(Castres)處理完一個案件之後的兩天，逝世於該城。"有什麼故事嗎？"他也許會說："天哪，先生，我什麼也沒有。"但是，這位生活安謐、誠實、溫文爾雅、胸懷坦蕩的人有著數學上最美好的故事。 他的故事就是他的工作——他的娛樂，更確切地說——完全是為了喜愛才完成的，而其中最精彩的東西(闡述起來，而不是去完成或效法)非常簡單，以至於任何一個智力正常的中小學生都可以明白其本質，欣賞其奧妙。數學業餘愛好者的這位宗師的工作，在過去三個世紀中對所有文明國家的數學業餘愛好者都有不可抗拒的吸引力。這項被叫做數論的工作，今天仍然是這樣一個數學領域，一個有天賦的業餘愛好者可以希望在其中發現某些有趣的東西。由於他在許多人稱作人文科學的方面"博學多才"，我們先看一看他另一些貢獻。他在歐洲語言和歐洲大陸文學方面的知識廣博而精深，希臘和拉丁哲學由於他的幾個重要改正而受惠不淺。在拉丁文、法文和西班牙文詩歌的創作中，他是當時風雅之士中有造詣的人之一，筆法純熟，妙趣橫生。如果我們把他刻畫成一位和靄可親的人，而不是一個受到批評就怒不可遏、暴跳如雷的人(如牛頓晚年那樣)，刻畫成一位不驕傲，但是有些虛榮心的人，那麼，我們就會理解他平靜的學者生活了。在各方面以他為對立面的笛卡兒曾用下面的話形容他的虛榮心："費馬先生是一個加斯科涅人(Gascon)；而我不是"，加斯科涅人的比喻可能是指一種大吹大擂而和靄可親的人，有些法國作家[如羅斯丹(Rostand)在話劇《西拉諾．德．貝熱拉克》(Cyrano
de Bergerac)的第二幕第七場中]把他們筆下的加斯科涅人寫成那種樣子。在費馬的書信中可能有點這種味道，然而總是很天真，並不令人討厭，並且，即使是他的腦袋膨脹得像氣球那麼大，那對他會怎樣公正地看待他自己的工作是無足輕重的。至於笛卡兒，千萬不要忘記，他恰恰不是一位公正的法官，我們馬上就會看到，在關於極端重要的切線問題上與那位加斯科涅人的長期爭論中，他自己軍人式的固執如何使他不愉快地敗北。
看到費馬公務的嚴格性質，和他作出的大量第一流的數學工作，有些人對於他怎麼有時間從事這一切感到迷惑不解。一位法國評論家提出了一種大概可信的解釋:費馬的議員職務對他的智力活動不是妨礙而是一種幫助。不像其它的公僕 例如在部隊中議會議員們被要求與自己的市民保持一定的距離，並避開一些不必要的社會活動，以免他們在履行官方職務時受賄或受其它腐蝕。於是，費馬有足夠的閒暇。
現在，我們簡要說明一下費馬在微積分學的發展中的作用。正像在阿基米德(Archimedes)那一章已經談到的，微分學的根本問題在幾何上的等價物是，在曲線的已知非封閉連續弧上的任一已知點作切線。在這裡"連續"含義的一個足夠嚴密的描述是"平滑、無間斷或無突然跳躍"；要給出一個精確的、數學上的定義，總需要解說和微妙的區別，這會使包括牛頓(Newton)和萊布尼茨(Leibniz)在內的微積分的發明者感到迷惑不解和驚訝。並且，還有一個合理的猜測是，如果現在的學生要對之刨根問底的這一切細微之處出現於微積分的創始人那裡，那麼，也許微積分永遠不會被他們發現。
包括費馬在內的微積分創造者依賴幾何的和物理(多半是運動學和動力學)的直觀獲得成功：他們考慮著存在於他們想像之中的"連續曲線"圖形，描繪出由曲線上的另外任一點Q在曲線上任一點P作出曲線的切線的過程，也就是，畫出連結P和Q的直線PQ，然後，在想像中讓點Q沿曲線弧從Q滑向P，直至Q與P完全重合，此時，弦PQ在剛剛描繪過的極限位置中變成了曲線在點P的切線PP'—他們所尋求的理想之物。
下一步是把這一切翻譯成代數的或解析的語言。已知曲線圖上點P的坐標X,Y，點Q開始沿著與點P重合的方向滑動前的坐標為x+a,y+b，他們審視了曲線固並且發現：弦PQ的斜率等於b/a這顯然是弦關於X軸(沿著它，其距離的度量為x的那條直線)的"陡峭度"的度量；這個"陡峭度"，嚴格說來，是由斜率表
示的。由此可見，所求的切線在P點的斜率(Q滑動至與P重合之後)應該是a與b兩者同時逼近於需時b/a的極限值;至於Q的坐標x+a,y+b，最後變成了P的坐標X,Y。這個極限值就是所求的斜率。有了斜率和點P，現在，他們就可以畫出切線。
嚴格說來，這不是費馬作切線的程序，但是廣義地說他本人的程序相當於上面的敘述。 為什麼這一切會值得任何一個具有理性的或者注重實踐的人的認真關注呢？說來話長，這裡只需講必須講的一點，更多的在討論牛頓(Newton)時再談。動力學的基本思想之一是一個運動質點的速度(速率)問題。如果我們把質點在單位時間內走過的單位距離的數目與單位時間的數目畫成對照圖形，我們就得到一條線，一條直線或曲線，它一目瞭然地表示出質點的運動，並且這條線上任一給定的陡峭度將明顯地告訴我們質點在與這一點相應的時刻的速度；質點運動越快，切線的斜率就越陡峭。這個斜率實際上給出了質點在它的運動軌跡任一點速度的度量。運動中的問題轉化到幾何中，恰恰就是尋求切線在曲線上已知點的斜率問題。有關曲面的切平面的問題(它在力學和數學物理中有大量闡述)也與此類似，並且，所有這些都由微分學---其基本問題，正如像費馬和他的後繼者提出的那樣，我們試圖作了描述一一攻克了。
這種算法的另一個應用，可以從已經說過的內容中弄明白。設某個量y是另一個量t的"函數"，記作y=f(t)，它意味著，當以任一確定的數，比如10，取代t時，我們就得到f(10)——"10的函數y——我們可以由假設給定的f的代數表達式計算y的相應的值，在這裡，y=f(l0)。更明確地說，假設f(t)是t的一個特定"函數，在代數中表示成t2，或t*t，那麼，當t=l0時，我們得到y=f(10)，並且，在這裡，對於t的這個值有y=102=100;當t=l/2，則y=1/4，對於t的任意一個值，也如此類推。
這一切對三四十年之內受過普通教育的任何人都是熟悉的，但是，一些人可能忘記了他們兒童時代所做的算術，正像另外一些人不可能把拉丁教堂中神壇的頂石弄歪以拯救他們的靈魂一樣。但是，甚至最健忘的人也會看到，我們能夠描繪出y=f(t)對於f的任一特定形式的圖形(當f(t)是t2時，圖形是倒弓形的拋物線)。想像一下畫出來的圖形吧。在它上面如果有極大(最高)和極小(最低)點——經與它們最靠近的鄰域中的那些點都高或低的點——我們發現，這些極大值或極小值處的切線都平行於t軸。就是說，我們所描繪的f(t)的上述極值(極大值或極小值)處的切線的斜率是零。
於是，如果我們想尋求已知函數f(t)的極值，我們就應該再解決特定曲線y=f(t)的斜率問題，求出一般點t,y處的斜率，讓這個斜率的代數表達式等於零，以求出t與極值相應的值。這就是費馬在1628--1629年發明的極大值和極小值方法中所完成約有重大價值的東西，但是，直到十年後費馬通過梅森(Mersenne)給笛卡兒(Descrates)寄去了這個方法的一個說明後，才變得半公開。
這種簡單方法的科學應用，要計算比剛剛描述的問題遠為複雜的問題，得加以適當的發揮不勝枚舉，並且影響深遠。例如，在力學中，正如拉格朗日(Lagrange)所發現的，在一個取極值時便給我們提供了所考察系統"運動方程"的問題中，存在著有關物體的位置(坐標)和速度的某個"函數"，反過來，這些方程使我們有可能確定在任一給定時刻的運動——完全描述這個運動。在物理學中，有許多類似的函數，其中每一個在所論的函數必須有極值的簡單要求下概括了數學物理一個寬廣分支的大部分內容；希爾伯特(Hilbert)在1916年發現了廣義相對論的一個極值問題。所以，當費馬在繁忙的法律事務之餘的閒暇中借攻克極大值和極小值問題以自娛時，他並不是在浪費光陰。他自己曾把他的原理在光學中作了一次美妙的、令人驚訝的應用。順便提一下，人們可能已經注意到，這一發現業已證明是新的量子論的萌芽——在其數學方面，是"波動力學"的萌芽——1926年以來有了大發展。費馬發現了通常稱為"最小時間原理"的東西，當然，以"極值"(最小或最大)來代替"最小"將更確切些。
根據這個原理，如果光線從一點且投射到另一點B，在投射過程中以任何方式被反射和折射("折射"，就是光線由於從空氣到水或穿過可變密度的膠狀物而產生的曲折)，那麼，它必然通過的路線——由於折射而產生的一切扭曲和旋轉，以及由於反射而造成的向後的和向前的投射
可以從由A到B所需時間應是一個極小值這個單一的要求中推算出來。 費馬從這個原理推出了著名的反射和折射法則：(在反射中)入射角等於反射角；從一種介質到另一種介質的(折射中)入射角的正弦是折射角正弦的常數倍。
費馬是把它應用到三維空間的第一人。笛卡兒(Descrates)則以二維空間而自鳴得意。這個擴展，為今天所有大學生所熟悉，但在那時，從笛卡兒(Descrates)的闡述中，它對哪怕是一個有天賦的人也不是不言而喻的。可以說，把一種特定的幾何學從二維空間擴展到三維，通常要比把它從三維擴展到四維、五維‥‥‥以至
n 維困難得多。費馬在一個基本點上(曲線由它們的階來分類這一點上)糾正了笛卡兒(Descrates)。有點一觸即發的笛卡兒(Descrates)會和冷靜的加斯科涅人費馬爭吵起來是很自然的。這位士兵在關於費馬的切線方法的爭論中好動肝火並且言辭尖刻；而心平氣和的法官總是真摯而謙恭。在通常的情況下，能忍者在辯論中常勝。但是，費馬贏得勝利，不是因為他能言善辯，而是因為他正確。
順便說一下，我們應當設想，牛頓(Newton)聽到過費馬關於微積分的應用，並且會感謝這個信息。對這個設想，直到1934年，還沒有公佈什麼證據，但是，在那一年，摩爾(L.T.More)教授在他的牛頓(Newton)傳記中記錄了迄今為止未被注意的一封信，牛頓(Newton)在這封信中非常明確地說，他從費馬的作切線的方法中得到微分法的啟示。
現在，我們來談費馬最偉大的工作，這是一項所有的人，無論數學家還是業餘愛好者一樣都可以理解的工作。這就是所謂"數論，或稱"高等算術"，或者最後，用一個高斯(Gauss)所贊成的非學究式的名稱——算術。
希臘人把我們在初等教科書中在"算術"這個名稱下拼湊在一起的混雜物分成兩個不同的部分：計算術(logistica)和算術(arithmetica)，其中第一部分一般說來是關於貿易和日常生活中計算的實際應用；而第二部分，在費馬和高斯意義下的算術，則是試圖發現數本身的性質。
算術最終的而且可能最困難的問題便是研究所有這些我們咿啞學語時就會用的極為普通的整數1,2,3,4,5,.....的相互關係。在試圖闡明這些關係時，數學家們被迫致力於代數和分析中精妙而深奧的理論的發現，其多如牛毛的術語掩蓋了本來只是關於1,2,3,.......的問題，而它們的真正得當的證明就是那些問題的解。同時，這些表面看來無價值的研究的副產品足以報償研究它們的人，他們提出了大量能夠應用於與物質世界有直接關係的另外數學領域的卓有成效的方法。另舉一個例子，代數的最新階段，今天由專門代數學家開拓著，並且使代數方程論放射出全新的光芒，追本求源，無不在於解決簡單的費馬大定理的嘗試(該定理將在做好準備之後加以陳述)。
我們從費馬作出的關於質數的著名闡述開始。一個正質數，或簡單地，一個質數，是任意一個大於 1 而且只能以 l 和它本身作除數(沒有餘數)的數；例如2,3,5,7,13。17就是質數，同樣，257,65537也是質數。但是，4294967297不是質數，因為它可被641整除，1844674407370955167也不是質數，因為它可被274177整除；641和274177都是質數。我們在算術中說一個數以另一個數作除數，或可被另一個數除，我們的意思是可整除而沒有餘數。於是，14能被7
除，而 15 則不能。由於即將看到的理由，我們在上面有意列了兩個很大的數。回想起另一個定義，一個已知數，表示成N，它的 n 次冪是 n 個N乘在一起的結果，並且寫成Nn；於是52=5*5=25;84=8*8*8*8=4096。為了整齊劃一，N本身可以寫成N1。另一方面，像235這樣一個寶塔意味著我們首先計算35(=243)，然後使2按這個冪"自乘"，即2243，就得到一個74位數。
下面一點在費馬和在數學史上部是非常重要的。考察數3,5,17,257,65537。它們全都屬於一個特殊種類的"序列"，因為它們全都(由1和2)按同一個簡單的程序形成，這個程序將由3=2+1,5=22+1,17=24+1,257=28+1,65537=216+1看出來；並且，如果我們願意計算下去，那麼容易看到，接下去約兩個大數是232+1和264+1，它們也是這個序列的數。於是，我們有了屬於這個數列的七個數，並且，這些數中前五個數都是質數，而後兩個數不是質數。
考察一下這個序列是怎樣組成的，我們注意"指數"(標於上首是2的冪次的數)，即1,2,4,8,16,32,64，並且看出，這些數是1(這個數如果我們願意，為了整齊劃一，可以像代數中那樣寫成20),21,22,23,24,25,26。也就是，我們的序列是22n+1，其中
n依次取0,1,2,3,4,5,6。我們沒有必要停在n=6上；取n=7,8,9,...，我們可以無限地繼續這個序列，得到越來越多的大數。 現在讓我們設法查明這個序列的一個特定的數是不是質數。儘管有許多簡捷算法，而整組整組的試除數都可以通過檢驗而拋棄，並且，儘管現代算術限制了需要驗證的試除數的種類，我們的問題還是和將一個已知數連續用比這個數的平方根小的質數2,3,5,7來除一樣煩瑣。如果那些質數沒有一個能除盡這個數，則這個數就是質數。無需說明，包含這種試除在內的工作，甚至使用已知的簡捷算法，對即使如此小的n值，比如100，也是無法問津的。(讀者試驗一下n=8的情況就可以確信這一點。)
費馬宣稱，他確信這個序列的一切數都是質數。正如我們所看到的，所列出的(與n=5,6相應的)數與他的結論相矛盾。這是我們想指出的有歷史意義的一點：費馬猜錯了，但他並沒有聲稱他已證明了他的猜測。若干年後，對他已做的事，他作了一個模糊的說明，根據這個說明，一些評論家推斷是他自己弄錯了。這個事實的重要性可在下文中看出。
作為獵奇，可以提一下澤拉．科爾伯恩(Zerah Colburn)，一個英國速算神童，當被問到費馬的第六個數(4294967297)是不是質數時，他在簡短的心算之後回答說，不是，因為它有除數641。他不能解釋他由之得到正確結論的過程。考爾本在本書中還要再出現一次(與哈密頓(Hamilton)有關)。
在與"費馬數"22n+1分手之前，我們將向前大致看一下18世紀最後十年的情況。那時，這些神妙的數在一定程度上對整個數學史中的兩、三件最重要的大事之一產生了影響。據說一個18歲的年輕人，有一段時間對到底是把他瑰麗的才華獻給數學還是獻給語文學猶豫不決。他在這兩方面有同等的天資。結果，與為現在每一個學生所熟知的一個簡單的初等幾何問題有關的美妙發現，決定了他的命運。
一個正n邊形共有n條等邊，n個等角。古希臘人早就發現怎樣只用圓規和直尺作正3,4,5,6,8,10和15邊形，並且，用同樣的工具，從一個邊數為已知的正多邊形作一個邊數是它約兩倍的正多邊形，也是一件很容易的事情。那麼，下一步就是探索用圓規和直尺作正7,9,11,13,....邊形。許多人都嘗試過，然而都以失敗告終，因為這樣的作圖是不可能的，只是他們不知道這一點。在間隔了2200多年後，一個在數學和語文之間徘徊的青年人又向前邁出了一步---一大步。
正如已經指出的，僅僅考察奇數邊的多邊形就夠了。這個年輕人證明了，並且僅當奇數邊正多邊形的邊數或者是費馬質數(即形如22n+1的質數)，或者是由不同的費馬質數的乘積，用圓規和直尺作圖才是可能的。於是，對於3,5或15邊形，正如希臘人早已知道的，作圖是可能的，但對7,9,11或13邊形作圖是不可能的，而對17,257或65537，或者---對於費馬序列3,5,17,257,65537,....中的下一個質數，如果有一個存在的話
現在(1936)仍然沒有人知道---並且，對於3*7，或5*527*65537邊形，作圖也是可能的，如此等等。1796年6月1日發表而在3月30日作出的這個發現導致這個年輕人選擇數學而不是選擇語文學作為他的畢生事業。他的名字是高斯(Gauss)。
我們闡述一下費馬在數論方面作出的另一個發現，它被稱作"費馬定理"(不是他的"大定理")。如果n是一個任意整數而p是一個任意質數，那麼，np-n可被p整除。例如，取p=3,n=5，我們得到53-5或125-5，是120，就是3*40；對於n=2,p=11，我們得到211-2或2048-2，是2046=11*186。
在算術中為什麼一些定理被看成是"重要的"而另一些定理證明起來同樣地困難卻被看成是無價值的，要講清楚這個問題如果不是不可能的，也是很困難的。一個標準就是該定理應當在另一些數學領域中有所應用，儘管它不一定是結論性的。另一個標準就是它應當在算術或一般數學領域中提供創造性研究。並且，第三，就是它在某些方面具有普遍性。剛剛闡述的費馬定理符合所有這三條有點武斷的要求：它在包括群論(見十五章)在內的許多數學部門中有著不可或缺的應用，而群論在關於代數方程論的根的研究上又是必不可少的；它開啟了許多研究，在這些研究中，元根的整個論題都可以被數學讀者作為一個重要例子而回憶起來；最後，它在闡述所有質數性質的意義上有普遍性
這樣的普遍性闡述是極難找到的並且很少為人所知。 照例，費馬不加證明地敘述了關於np-n的定理。第一個證明是萊布尼茨在一本沒有日期的手稿中給出的，但是，他好像在1683年以前就知道了一個證明。讀者也許願意設計一個證明來試試自己的才能。所必須的一切就是下列事實，這些事實可以被證明，但為正在考慮的論題，可以假定它們的存在：一個已知的整數可以以唯一的方式不考慮因子的排列順序
由所有質因子的連乘積構成；如果一個質數能整除兩個整數之積(相乘的結果)，則它至少能整除其中之一。例如:24=2*2*2*3，而24不可能由本質上不同形式的質數之積構成
我們把2*2*2*3,2*2*3*2,2*3*2*2,3*2*2*2看成都是一樣的；7整除42，而42=2*21=3*14=6*7，在每一種情況下，7都至少整除相乘得出42的這些數中的一個;再如98可被7整除，而98=7*14，在這種情況下，7整除7和14這兩者，因此至少整除其中之一。從這兩個事實出發，證明可以在不到半頁的篇幅中給出。這是在任何一個有正常智力的14歲孩子的理解力之內的，但是，我們敢打賭，任一年歲或所有年歲的一百萬正常智力的人中，其數學知識不超過算術基礎知識而能在一個適當的時間——比如一年內成功地找到一個證明的人，不超過十個。
這裡好像是引述高斯(Gauss)關於費馬和他自己關注約令人神往的領域的名言的適當場合。英文譯文是愛爾蘭算術家H.J.S.史密斯[Smith(1826-1883)]從高斯給1847年出版的艾森斯坦(Eisenstein)的數學論文集的引言中翻譯的。
"高等算術向我們展現了饒有興味的真理的無窮無盡的寶藏---這些真理不是孤立的，而是處於緊密的內在聯繫之中，並且，由於我們知識的增加，我們還在這些真理中間不斷地發現新的有時完全是意想不到的聯繫。其理論的一個極其重要部分從一些重要命題的特色中獲得了新的魅力，這些命題連同它們上面的樸素烙印通常很容易由歸納法發現，然而它們如此深奧，以至於我們在作了許多徒勞的嘗試之後還是不能找到它們的證明，甚至我們雖然取得了成功，卻通常是一些冗長乏味矯柔造作的程序，而更簡單的方法可能被長期淹沒著"。
高斯(Gauss)談到的這些饒有興味的真理之一有時被看成費馬發現的數論中最美妙的(但不是最重要的)東西：形如4n+l的每一個質數是兩個平方數之和，並且，這個和僅僅以一種方式構成。很容易證明，沒有任何一個形如4n-l的數是兩個平方數之和。因為大於2的一切質數都可以毫無困難地看作這兩種形式之一，所以沒有什麼要補充。舉個例子，37被4除產生餘數1，所以37必然是兩個整數平方之和。由試除法(還有更好的方法)，我們確實發現37=1+36=12+62，並且，沒有另外的平方數X2和Y2，能使37=X2+Y2。對於質數101，我們有12+102，對於41，我們有42+52。另一方面，19=4*5-1，不是兩個平方數之和。
像他幾乎所有的算術工作一樣，費馬沒有留下這個定理的證明。這個定理首先是由偉大的歐拉(Euler)在1749年證明的，他為了找到這個證明，斷斷續續地奮鬥了7年。但是，費馬闡述了他發明的一種獨創性方法，靠這種方法，他證明了這個和另外各式各樣的精彩結果。這種方法被稱為"無限下降"，完成這個過程要比以利亞(Elijah)升到天堂不知困難多少。他自己的敘述既簡明又清晰，所以我們對他1659年8月寫給卡克維(Carcavi)的信作個意譯。
"很長時間，我不能把我的方法應用於肯定命題，因為為了證明它們而採用的方法和遇到的曲折要比把它用於否定命題時麻煩得多。於是，當我必須證明比4的倍數大1的每一個質數都由兩個平方數組成時，我發現自己陷入微妙的苦惱之中。而最後，多次反覆的沉思給了我所渴求的光明。現在，借助於某些必須與這方法結合的新原則，肯定命題也服從了我的方法的擺佈。在肯定命題中，我的思路是這樣的：如果一個形如4n+l的任意選定的質數不是兩個平方數之和，那麼，[我證明]將存在另一個同樣性質的質數，它比所選定的質數要小，而[因此]，緊接著又存在第三個同樣性質的更小的質數，如此等等。用這種方式無限下降，我們最終得到數5，所有這類數[4n+1]中最小的一個。[由已經提到的證明和前面由之得出的論據]得出5不是兩個平方數之和的結論。但是，5是兩個平方數之和。因此由reductio
ad absurdum (歸謬法)，我們必然推出，所有形如4n+l的質數都是兩個平方數之和。 "把下降法應用於一個新問題的所有困難在於第一步，即證明如果假定的或猜想的命題對於任意選定的這一類的任何一個數都是正確的，那麼，它對同一類的較小的數也是正確的。為了做到這一步，沒有能應用於所有問題的一般方法。而此碌碌無為的忍耐和過分高估的"忍受痛苦的無限能力"更珍貴的某種東西才是找到穿過茫茫荒原之路所必需的。認為天才無非是具有一個好記帳員的能力的那些人，可以被推薦去在費馬大定理上發揮他們的無限忍耐力。在闡述這個定理之前，我們再舉出一個費馬處理並解決了的容易使人誤認為簡單的例子。這裡將介紹費馬所擅長的丟番圖(Diophantine)分析的一個論題。
任何一個作數字遊戲的人都可能在27=25+2這個奇妙的事實面前裹足不前。在這裡，令人感興趣的一點是，27和25兩者都是嚴格的冪次，即27=33，而25=52。於是，我們發現，Y3=X2+2在整數X,Y中有一個解，這個解就是Y=3,X=5。現在，作為一種起智力測驗，讀者可以證明，Y=3,X=5是滿足該方程的唯一整數解。這是不容易的。事實上，解決這種表面上幼稚的事情比掌握相對論需要多得多的天賦智能。
帶有解Y,X必須是整數限制的方程Y3=X2+2,是不定方程(因為未知數X,Y的個數2多於聯結它們的方程的個數1)或丟番圖方程，這是按首先堅持求方程的整數解，或者稍放寬一點，求有理數(分數)解的這位希臘人而命名的。描述沒有整數解限制的無限多個解，是沒有任何困難的：例如，我們可以給X任何一個我們喜歡的值，然後在X2上加上2，對其結果開立方就可以確定Y。但是，求所有整數解的丟番圖問題完全是另外一回事。解Y=3,X=5是"由驗算"看出來的；問題的困難在於證明沒有另外的整數X,Y能滿足這個方程。費馬證明了這個結論，然而照例費馬隱匿了他的證明，直到他死後若干年，人們才找到一個證明。
這一次，他不是猜測；問題相當難，他宣稱他有一個證明，一個後來才找到的證明。因而，對於他所有積極的結論，除了他在他的大定理中作出的，表面上很簡單而數學家們奮鬥了 300 多年還沒有能夠證明的那個結論之外，都是如此：每當費馬宣稱他已經證明了什麼東西的時候，那麼，除了已經指明的那個例外，他的論述後來總是被證明了。他審慎的誠實的性格和他作為算術家的無比洞察力兩者，證明了一些人而不是所有人為他作出這樣一種要求：當他宣稱他掌握了他的定理的證明的時候，他知道他在講什麼。在閱讀巴歇(Bachet)的(丟番圖)一書時，費馬習慣於把沉思的結果簡要記在他的讀本的邊頁空白上。而邊頁空白不適於用來寫出一個證明。於是，在丟番圖的(算術)第二冊要求解方程，X2+Y2=Z2的有理數(分數的或整數的)解的第八個問題的評註中，費馬作了如下的註釋：
"相反地，把一個立方分成兩個立方，把一個四次方分成兩個四次方，或者，一般地，把任意一個大於二次的乘方分成同次的兩個乘方，是不可能的。我發現了(關於這個一般性定理的)確實奇妙的證明，可是，這個邊頁空白要容納下它顯得大窄了。"((費馬全集)第三卷第241頁。) 這就是著名的大定理，他大約是在1637年發現的。 用現代語言重新敘述如下：丟番圖問題就是尋求整數或分數X,Y,a,使，X2+Y2=Z2；費馬斷定，不存在這樣的整數或分數使X3+Y3=a3或，X4+Y4=a4，或一般地Xn+Yn=an，其中n是大於2的整數。
丟番圖問題有無窮多組解。舉例說，X=3,Y=4,a=5；X=5,Y=12,a=13。費馬用他的無限下降法親自對X4+Y4=a4的不可能性給了一個證明。自那之後，已經證明Xn+Yn=an對相當大的n(已經達到比n=14000小的所有質數，如果X,Y,a中沒有一個能被n整除的話)，不可能有整數(或分數)解，但是，這還不是所要求的。解決所有大於2的n的證明才能如願以償。費馬說他掌握了一個"奇妙的"的證明。
所談的這一切歸根到底，有沒有可能他自己弄錯了呢？這可以留給讀者去解決。一位偉大的算術家高斯(Gauss)表示反對費馬。可是，吃不到葡萄的狐狸總是說葡萄酸。另外一些數學家表示相信費馬。費馬是一位第一流的數學家，是一位無可指責的質樸的人，並且是一位在歷史上無可匹比的算術家。
註：在1908年，已故的保羅．華爾夫斯蓋爾(Paul Wolfskehl)教授(德國人)留下了100,000馬克以授予第一個給費馬最後大定理作出完整證明的人。世界大戰之後，通貨膨脹，使這筆獎金變得寥寥無幾，不過它現在仍是財迷們可用一個證明而得到的東西。1996年費馬最後大定理被證明為真。
|
